Masalah Nilai Awal dan Syarat Batas

“MASALAH NILAI AWAL DAN SYARAT BATAS”

            Masalah nilai awal dan syarat batas adalah suatu materi yang berhubungan dengan solusi persamaan differensial secara khusus dimana kondisi awal yang diberikan merupakan syarat awal sehingga mendapatkan solusi khusus yang disebut syarat batas.

Ø  Teorema:

Jika fungsi p dan g kontinu pada α < x < β yang mengandung x = x₀, maka ada fungsi tunggal y =ϕ (x) yang memenuhi persamaan differensial pada interval tersebut dan memenuhi syarat awal y(x₀) = y₀ adalah suatu nilai awal yang telah ditentukan.

Solusi yang diperoleh dari PD orde I:

Bentuk Umum:            y’ + p(x)y = g(x)

adalah: y =   ...(*)

dimana:           μ(x) = e^{∫ ͯp(t)dt}               ⇒         μ(x) disebut faktor integrasi

Contoh:

Tentukan solusi MNA:     y’ – 2xy = x dengan syarat awal y(0) = 1!

Solusi:

Diketahui p(x) = -2x

·         Faktor Integrasinya:         μ(x) = e^{∫ ͯ-2xdx} = e^-x²

·         Kalikan faktor integrasi dengan PD:

e^-x² (y’ – 2xy) = x e^-x²

⇔ e^-x²y’ – 2x e^-x²y = x e^-x²

⇔ ^d/_dx (e^-x²y) = xe^-x² ... (1)

·         Integralkan kedua ruas pada (1):

∫^d/_dx (e^-x²y) = ∫xe^-x²dx        → Mis. u = -x², du = -2x dx ⇔ x dx = -½ du

e^-x²y         = ∫  e^-x²x dx

e^-x²y         = ∫  e^u. (-½ du)

e^-x²y         = -½∫e^u du

e^-x²y         = -½ e^-x² + c

    y         = -½ + ce^x²

Solusi MNA tersebut pada syarat awal y(0) = 1 adalah:

⇔ 1 = -½ + ce⁰

⇔ 1 = -½ + c

⇔ c = ³/₂

∴ solusi MNA nya adalah:      y = -½ + ³/₂ e^x²

v  Tugas I: Tentukan solusi MNA berikut:

1)        y’ + 2y = e^-x dengan syarat y(0) = 3

y’ + 2y = x² e^-2x dengan syarat y(1) = 0

Solusi MNA dengan Faktor Integrasi

Perhatikan kembali bentuk umum PD Orde I:

y’ + p(x)y = g(x) ... (*)

Solusi umum PD tersebut adalah:

y =  ... (**)

dengan μ(t) = eͯ^∫p(t)dt   →  faktor integrasi

·         Bila pers. (*) mempunyai solusi dan p kontinu pada α < x < β maka μ(x) terdefinisi pada interval tersebut.

·         Kalikan pers. (*) dengan faktor integrasi μ(x) lalu differensialkan, diperoleh:

^d/_dx (μ(x) y) = μ(x) g(x)

dengan syarat μ(x) g(x) mempunyai anti-turunan atau integral.

·         Integralkan kedua ruas untuk memperoleh solusi umum PD.

·         Jika diberikan syarat awal, maka akan menjadi MNA. Solusi MNA adalah mengganti nilai dengan cara mensubstitusi syarat awal yang diberikan.

Hal diatas menegaskan bahwa MNA hanya mempunyai solusi tunggal.

Contoh:

1.      Tentukan solusi MNA berikut: xy’ + 2y = sin x; syarat awal f(π/₂) = ¹/π

Solusi:

                       xy’ + 2y = sin x

           ⇔        y’ + ²/_x y = ^{sin x}/_x        ...(i)

Faktor Integrasinya: μ(x) = e^∫²/ₓdx = e^2lnx = x²

Kalikan μ(x) = x² dengan pers. (i), diperoleh:

           x² y’ + 2xy = x sin x

⇔       ^d/_dx(x²y) = x sin x

⇔       ∫ ^d/_dx(x²y) = ∫x sin x dx

           Misal   u = x ⇒ du = dx

                       dv = sin x dx ⇒ v = ∫dv = ∫sin x dx = - cos x

           Maka:  x²y = uv - ∫v du

                       x²y = x(-cos x) - ∫ - cos x dx

                       x²y = -x cos x + sin x + c

Untuk syarat awal f(π/₂) = ¹/π

⇔ (π/₂)² (¹/π) = -π/₂ (cos π/₂) + sin π/₂ + c

⇔ π/₄ = 0 + 1 + c

⇔ c = π/₄ – 1

⇔ c = π-4/₄

Jadi, solusi MNAnya adalah:

           x²y = - x cox x + sin x + π-4/₄

atau    y = -^{cox x}/ₓ + ^{sin x}/ₓ_² + π-4/₄ₓ_²

2.      Tentukan solusi MNA: xy’ + 3y = 4x² ; syarat y(1) =2

Solusi:

                       xy’ + 3y = 4x²

           ⇔        y’ + ³/ₓ y = 4x             ... (i)

Faktor integrasinya:   μ(x) = e^∫³/ₓdx = e^3lnx = x³

Kalikan μ(x) = x³ dengan pers. (i) diperoleh:

                       x³y’ + 3x³y = 4x⁴

           ⇔        ^d/_dx (x³y) = 4x⁴

           ⇔        ∫ ^d/_dx (x³y) = ∫4x⁴ dx

           ⇔        x³y = ⁴/₅ x⁶ + c

Untuk syarat awal y(1) = 2, diperoleh:

           ⇔        2 = ⁴/₅ + c

           ⇔        c = ⁶/₅

Jadi, solusi MNAnya adalah:

           x³y = ⁴/₅ x⁶ +⁶/₅

atau    y = ⁴/₅ x³ +⁶/₅ₓ_³

v  Tugas 2 : Tentukan solusi MNA:

1)      xy’ + 4y = e^x ;  f(0) = 4

x²y’ + 2xy = cox x ; x > 0 dengan y(π) = 0

Masalah Nilai Awal Variabel Terpisah

            Berdasarkan PD Orde I, ada yang dapat dipisahkan antara variabel bebas dan tak bebas, sehingga diperoleh:

g(y) y’ = f(x)    ... (*)

Karena y’ = ^dy/_dx        ⇒         g(y) ^dy/_dx = f(x)

                                    ⇔        g(y) dy = f(x) dx

                                                            ⇣

                                                PD Peubah Terpisah

Jika diintegralkan diperoleh:

                                                ∫g(y) dy = ∫f(x) dx + c

Sehingga diperoleh solusi umum.

Jika pada masalah nilai awal dan syarat batas tertentu, maka dengan mensubstitusi nilai c, akan diperoleh solusi MNA baik secara implisit maupun eksplisit.

Contoh:

1.      Tentukan solusi eksplisit MNA: y’ =  , y(0) = -1

Solusi:

                       2(y – 1)y’ = 3x² + 4x + 2

                       (2y – 2) ^dy/_dx = 3x² + 4x + 2

                       (2y – 2) dy = (3x² + 4x + 2) dx

                       ∫(2y – 2) dy = ∫(3x² + 4x + 2) dx

                       y² – 2y = x³ + 2x² + 2x + c

                       (y – 1)² = x³ + 2x² + 2x + 1 + c

                       y = 1 ± √x³ + 2x² + 2x + 1 + c

Jika y(0) = -1

           ⇔        (-1 – 1)² = 1 + c

           ⇔        c = 4 – 1

           ⇔        c = 3

Jadi solusi MNA nya adalah:

                       y = 1 ± √x³ + 2x² + 2x +4

Secara eksplisit yang memenuhi y(0) = -1 adalah:

                       y = 1 - √x³ + 2x² + 2x +4

2.      Tentukan solusi MNA: ^dy/_dx =  ; y(0) = 1

Solusi:

                       (¹⁺²ʸ^²/_y) dy = cos x dx

                       ∫(¹/_y + 2y) dy = ∫cos x dx

                       ln y + y² = sin x + c

Jika y(0) = 1, maka:

           ⇔        ln 1 + 1² = sin 0 + c

           ⇔        0 + 1 = 0 + c

           ⇔        c = 1

Jadi, solusi MNAnya adalah:

                       Ln y + y² = sin x + 1

CATATAN:   Logaritma Natural berbasis e

                                   Ln 1 = 0

                                   Ln a = ^elog a

3.      Tentukan solusi MNA: (1 – y²)dx + xy dy = 0 ; y = 0, x = 5

Solusi:

                        (1 – y²) dx = -xy dy

                        (¹/ₓ) dx = (-ʸ/₁₋_y²) dy

                        (ʸ/_y²₋₁) dy = (¹/ₓ) dx

                        ∫(ʸ/_y²₋₁) dy = ∫(¹/ₓ) dx

            Misal. u = y² – 1

                        du = 2y dy

                        y dy = ½ du

            ⇔         = ln ∣x∣ + c

            ⇔        ½ ln ∣y² - 1∣ = ln ∣x∣ + c

Jika y = 0 dan  x = 5, maka:

            ⇔        ½ ln 1 = ln 5 + c

            ⇔        0 = ln 5 + c

            ⇔        c = -ln 5

Sehingga solusi MNAnya adalah:

                        ½ ln ∣y² - 1∣ = ln ∣x∣ - ln 5

            ⇔        ½ ln ∣y² - 1∣ = ln 

            ⇔        ∣y² - 1∣^½ = 

            ⇔        y² = ()^²  + 1

            ⇔        y = ± √(˟/₅)² + 1

4.      Tentukan solusi MNA: ^dy/_dx = ¹/_eʸ₋x dengan syarat x = 1 dan y = 0!

(Gunakan y sebagai variabel bebas)

Solusi:

                        ^dx/_dy = e^y – x

            ⇔        x’ = e^y - x

            ⇔        x’ + x = e^y ... (1)

Faktor integrasinya:    μ(y) = e^∫1dy = e^y

            ⇔        e^y (x’ + x) = e^2y

            ⇔        ^d/_dy(e^y x) = e^2y

            ⇔        ∫ e^y x = ∫ e^2y dy + c

            ⇔        e^y x = ½ e^2y + c

            ⇔        x = ½ e^y + ce^-y

Untuk syarat x = 1 dan  y = 0:

            ⇔        1 = ½ e⁰ + ce⁰

            ⇔        c = ½

Sehingga solusi MNAnya adalah:

                        x = ½ e^y + ½e^-y

atau                 x = ½ (e^y + e^-y)

5.      Tentukan solusi MNA: y’ =¹/₁₊ₓ_² - y ; dengan syarat y(0) = 0!

Solusi:

                        y’ + y = ¹/₁₊ₓ_²

Faktor integrasinya:    μ(x) = e^∫1dx = e^x

            ⇔        e^x (y’ + y) = ^e˟/₁₊ₓ_²

            ⇔        ^d/_dx (e^xy) = ^e˟/₁₊ₓ_²

            ⇔        ∫ ^d/_dx (e^xy) =∫( ^e˟/₁₊ₓ_²) dx

            ⇔        e^xy = ∫( ^e˟/₁₊ₓ_²) dx + c

            ⇔        y = e^-x ∫( ^e˟/₁₊ₓ_²) dx + ce^-x

Untuk y(0) = 0, maka:

            ⇔        0 = 1∫(1)dx + c

            ⇔        0 = x + c

            ⇔        0 = 0 + c

            ⇔        c = 0

Jadi, solusi MNAnya adalah:

                        y = e^-x ∫( ^e˟/₁₊ₓ_²) dx

CATATAN:    ∫( ^e˟/₁₊ₓ_²) dx =∫e^x. (^¹/₁₊ₓ_²) dx

Beberapa Rumus Differensial

1.      y = xⁿ → ^dy/_dx = y’ = nx^n-1

2.      y = e^x → ^dy/_dx = y’ = e^x

3.      y = a^x → y’ = a^x ln a

4.      y = sin x → y’ = cos x

5.      y = cos x → y’ = -sin x

6.      y = tan x → y’ = sec²x

7.      y = cot x → y’ = -cosec²x

8.      y = sin h x → y’ = cos h x

9.      y = cos h x → y’ = sin h x

10.  y = ln x → y’ = ¹/ₓ

11.  y = arc sin x → y’ =¹/_{√₁₋ₓ²}

12.  y = arc cos x → y’ = -¹/_{√₁₋ₓ²}

13.  y = arc tan x → y’ = ¹/₁₊ₓ_²

14.  y = arc cot x → y’ = -¹/₁₊ₓ_²

Beberapa Rumus Integral

1.      ∫xⁿ dx = (¹/_n₊₁)xⁿ⁺¹ + c

2.      ∫(¹/ₓ) dx = ln ∣x∣ + c

3.      ∫e^ax dx = ¹/_a e^ax + c

4.      ∫tan x dx = -ln cos ∣x∣ + c

5.      ∫cot x dx = ln sin ∣x∣ + c

6.      ∫sec x dx = ln ∣sec x + tan x∣ + c

7.      ∫(¹/_x²₊ a² )dx = ¹/_a arc tan ˟/_a + c

8.      ∫(¹/_{√ a²₋ x²} ) = ¹/_a arc sin ˟/_a + c

9.      ∫(¹/_{√x²₊ a²} )dx = sin h^-1 ˟/_a + c

10.  ∫ln x dx = x ln x – x + c

CATATAN:    sin h x = ½ (e^x – e^-x)

                        Cos h x = ½ (e^x + e^-x)

Link download: http://www.4shared.com/file/GzR2Wt9-/Catatan_MNA.html :)