Analisis Real II

I.       BARISAN BILANGAN REAL

Barisan bilangan real adalah suatu fungsi dengan domain himpunan bilangan asli N yang terurut dalam R, dengan kata lain barisan bilangan real memasangkan setiap bilangan asli 1, 2, 3, ... dengan bilangan real.

Misalnya kita mempunyai barisan x : R→R

Nilai x pada bilangan asli N ditulis:                x = (x_n : n ∊ N)

Contoh:

            Nyatakan nilai x pada bilangan asli n barisan bilangan berikut.

1.      x = (2, 4, 6, ...)

2.      x = (1, ½, ⅓, ¼, ...)

3.      x = (1, ¼, ⅛, ˡ ̸₁₆, ...)

4.      x = (2, 5, 8, 11, ...)

5.      x = (-3, -1, 1, 3, ...)

6.      x = (4, 11, 30, 67, 128, ...)

Penyelesaian:

1.      x = (2, 4, 6, ...)

x = (2n : n ∊ N)

2.      x = (1, ½, ⅓, ¼, ...)

x = (ˡ ̸_n : n ∊ N)

3.      x = (1, ¼, ⅛, ˡ ̸₁₆, ...)

x = (ˡ ̸_n² : n ∊ N)

4.      x = (2, 5, 8, 11, ...)

⇔ a + (n – 1)b

⇔ 2 + (n – 1)3

⇔ 3n – 1

∴ x = (3n – 1 : n ∊ N)

5.      x = (-3, -1, 1, 3, ...)

⇔ a + (n – 1)b

⇔ -3 + (n – 1)2

⇔ 2n – 5

∴ x = (2n – 5 : n ∊ N)

6.      x = (4, 11, 30, 67, 128, ...)

                7   19   37   61

                 12   18    24

                    6     6

      

         

         

         

v  TUGAS I: x = (3, 17, 55, 129, 251, ...)
                    Nyatakan dalam bentuk x = (x_n : n ∊ N)!

1.      Hitunglah S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5!

Penyelesaian:

S   = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

S   = 5 + 4 + 3 + 2 + 1

2S = 6 + 6 + 6 + 6 + 6

2S = 5(6)

2S = 30

S   = 15

2.      Hitunglah S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... +100!

Penyelesaian:

S   =      1             +     2   +     3   +     4   + ... + 100

S    =  100             +   99   +   98   +   97   + ... +     1

2S  =  101             +  101  +  101  +  101  + ... +  101

2S  =  100(101)

2S  =  10100

S   =  5050

3.      Hitunglah S = 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2¹⁰⁰⁰!

Penyelesaian:

2S             =       2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2¹⁰⁰⁰ + 2¹⁰⁰¹

S               = 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2¹⁰⁰⁰

2S – S       = -1 + 2¹⁰⁰¹

S               = 2¹⁰⁰¹ – 1

4.      Hitunglah S = 1 + ½ + ½² + ½³ + ... + ½¹⁰⁰⁰!

Penyelesaian:

 

  

2S – S = 2 - ¹/₂_¹⁰⁰⁰

       S = 2 - ¹/₂_¹⁰⁰⁰

5.      Hitunglah S = ¹/₁ _x ₂ + ¹/₂_x₃ + ¹/₃_x₄ + ...  + ¹/₉₉₉_x₁₀₀₀ !

Penyelesaian:

S = (1 - ¹/₂) + (½ - ⅓) + (⅓ - ¹/₄) + ... + (¹/₉₉₉ - ¹/₁₀₀₀)

S = 1 - ¹/₁₀₀₀

S = ⁹⁹⁹/₁₀₀₀

TUGAS 2: Hitunglah S = 6 + 66 + 666 + 6666 + ... + 6666...6!

     APLIKASI NILAI MUTLAK

Definisi:                       x, untuk x ≥ 0

∣x∣ =

            -x, untuk x < 0

Sifat-sifat:

1.      ∣a.b∣ = ∣a∣.∣b∣

2.     

3.      ∣a + b∣ ≥ ∣a∣ + ∣b∣

4.      ∣a – b∣ <  ∣a∣ - ∣b∣ 

Misalnya:

∣x∣ < a, jika dan hanya jika –a < x< a

∣x∣ > a, jika dan hanya jika x > a atau x < -a

Contoh:

1.      Selesaikan ∣3x+2∣ = 5!

Penyelesaian:

∣3x+2∣ = 3x + 2, untuk (3x + 2) ≥ 0

∣3x+2∣ = -3x – 2, untuk (3x + 2) < 0

ü Untuk (3x + 2) ≥ 0

∣3x+2∣ = 5

               3x+2 = 5

           3x      = 3

            x       = 1

ü Untuk (3x + 2) < 0

∣3x+2∣ = 5

-3x – 2 = 5

-3x       = 7

   x        = -⁷/₃

Jadi, x = 1 dan x = -⁷/₃

2.      Tentukan HP dari ∣x – 5∣ < 4!

 Penyelesaian:

∣x – 5∣ < 4 ⇔ -4 < x – 5 < 4

⇒ -4 < x – 5 < 4

1 < x < 9 

∴ HP : (1, 9)

3.      Tentukan HP dari ∣3x+2∣ > 5!

Penyelesaian:

∣3x + 2∣ > 5 ⇔ 3x + 2 > 5 atau 3x + 2 < -5

ü  Untuk 3x + 2 > 5

3x > 3

x > 1

ü  Untuk 3x + 2 < -5

3x < -7

x < -⁷/₃

            ∴ HP : (-∞,-⁷/₃) ˅ (1, +∞)

Jika ∣a∣ < ∣b∣ ⇔ a² < b²

Contoh:

            Selesaikan ∣a – 2∣ < ∣3 – 2x∣!

Penyelesaian:

∣x – 2∣ < ∣3 – 2x∣ ⇔ (x – 2)² < (3 – 2x)²

x²- 4x + 4 < 9 – 12x + 4x²

3x² – 8x + 3x² > 0

(3x – 5)(x – 1) > 0

3x – 5= 0 atau x – 1 = 0

    3x = 5              x = 1

                                     x = ⁵/₃

∴ HP : (-∞, 1) ˅ (⁵/₃, +∞)

Untuk download, silahkan klik http://www.4shared.com/file/6oxPt_P3/Catatankuuu.html :)