Analisis Kompleks

                   BILANGAN KOMPLEKS DAN GEOMETRI BILANGAN KOMPLEKS

Bentuk Umum a,b ∊ R

                        z = a + bi

Dimana:

            a adalah bilangan Real

            b ≠  0

            i adalah bilangan imajiner (khayal) dengan i² = -1

Operasi Dasar Bilangan Kompleks:

a)      Penjumlahan        : (a + bi) + (c + di) = a + c + (b + d)i

b)      Pengurangan        : (a + bi) - (c + di) = (a – c) + (b – d)i

c)      Perkalian             : (a + bi).(c + di) = ac + a.di + c.bi – bd

    = ac – bd + a.di + c.bi

    = ac – bd + (ad + cb)i

d)    Pembagian       :  

1.        Tunjukkan bahwa jika: z = -1 – i, maka  z² + 2z + 2 = 0!

Jawab:

z = -1 – i ⇒ z² + 2z +2

⇒ (-1 – i)² + 2(-1 – i) +2

⇒ 1 +2i – 1 – 2 – 2i + 2

⇒ 0      (terbukti)

2.        Tentukan nilai:  (¹/₂₋₃ᵢ) (¹/₁₊ᵢ)!

Jawab:

(¹/₂₋₃ᵢ) (¹/₁₊ᵢ) = (¹/₂₊₂ᵢ₋₃ᵢ₊₃)

                         = (¹/₅₋ᵢ)(⁵⁺ⁱ/₅₊ᵢ)

                         = ⁵⁺ⁱ/₂₅₊₁

                                = ⁵/₂₆ atau ¹/₂₆ i

Sifat-sifat aljabar bilangan kompleks:

Jika z₁, z₂ dan z₃ adalah bilangan kompleks, maka akan berlaku:

1)      Sifat Komutatif

2)      Sifat Asosiatif

3)      Sifat Distributif

4)      Sifat Kesekawanan

Jika:  
      :  
      : dll seterusnya.

nilai mutlak (modulus) dari z:             ∣z∣ = √a² + b²

Misal:

1.      Jika z = -1 – i, maka z =√(-1)² + (-1)²

       = √2

 2.   Nilai dari  
                      
      Jawab:
                 

                          = ^√13/_√2

                                                     = ½ √26

Dalam bilangan kompleks nilai Mutlak berlaku:

1.      ∣z₁.z₂∣ = ∣z₁∣.∣z₂∣

2.     

3.      ∣z₁ + z₂∣ ≤ ∣z₁∣ + ∣z₂∣

4.      ∣z₁ + z₂∣ ≥ ∣z₁∣ + ∣z₂∣

dimana z₁ dan z₂ adalah bilangan kompleks yang berbentuk z = a + bi.

Tugas I:

1.      Tentukan nilai: !

 2.    Tentukan nilai x dan  y jika 2x – 3iy + 4ix – 2y – 5 – 10i = (x + y + 2) – (y – x + 3)i!

(Selasa, 1 Oktober 2013)

BENTUK POLAR (KUTUB) BILANGAN KOMPLEKS

Misal.

         x = r cos Ɵ

         y = r sin Ɵ

       r² = x² + y²

        r =√x² + y²

z = x + yi

  = ∣x + yi∣ = x² + y²

z = x + yi

   = r cos Ɵ + (r sin Ɵ)i

   = r (cos Ɵ + i sin Ɵ)

           
z = r (cos Ɵ + i sin Ɵ)

OPERASI ALJABAR BENTUK POLAR

Misal

            z₁ = r₁ (cos Ɵ + i sin Ɵ)

            z₂ = r₂ (cos Ɵ + i sin Ɵ)

Maka:

1)      z₁ + z₂ = r₁ (cos Ɵ + i sin Ɵ) + r₂ (cos Ɵ + i sin Ɵ)

= (r_1­ + r₂) (cos Ɵ + i sin Ɵ)

2)      z₁ – z₂  = r₁ (cos Ɵ + i sin Ɵ) - r₂ (cos Ɵ + i sin Ɵ)

= (r₁ – r₂) (cos Ɵ + i sin Ɵ)

3)      z₁ . z₂   = r₁ (cos Ɵ + i sin Ɵ) .  r₂ (cos Ɵ + i sin Ɵ)

= r₁r₂ (cos (Ɵ₁ – Ɵ₂) + i sin (Ɵ₁ – Ɵ₂))

4)     

   
      

Contoh:

            Jika diketahui:             z₁ = 1 – i

                                                z₂ = -1 + i

Maka:

a)      z₁ = √x² + y²

    = √2

z₂ = √x² + y²

    = √2

Tan Ɵ   = ¯¹/₁

             = -1    ⇒ Ɵ₁ = 315, Ɵ₂ = 135

Tan Ɵ  = ¹/₋₁

             = -1    ⇒ Ɵ₁ = 315, Ɵ₂ = 135

z₁ = r (cos Ɵ₁ + i sin Ɵ₁)

    = √2 (cos 315 + i sin 315)

z₂ = √2 (cos 135 + i sin 135)

b)      z₁.z₂ = √2 .√2 (cos (315 - 135) + i sin (315 – 135))

        = 2 ( cos 180 + i sin 180)

       = 2 (-1 + 0)

       = -2

c)        (cos 180 + i sin 180)

      = -1

FUNGSI KOMPLEKS

Suatu fungsi kompleks :           w = f(z)

                     Dimana :          z = x + iy

Maka fungsi kompleks :           w = u(z) + v(z)i

                                  atau     w = u(x, y) + v(x, y)

Dengan diketahui u(x, y) adalah bagian real dan v(x, y)i adalah bagian imajiner.

            Dalam bentuk koordinat polar (r, Ɵ) dapat dinyatakan dengan mengganti x, y¸ yaitu:

w = u + iv

f(z) = f(x + y)i = v cos Ɵ + i r sin Ɵ

Jadi,     f(z) = u(r, Ɵ) + i v(r, Ɵ)

1.      Jika f(z) = 2x² + iy, maka fungsi kompleks dalam z adalah sebagai berikut:

z  dan 

z = x + iy dan   = x – iy

x ⇒ z +  = (x + iy) + (x – iy)

                 = 2x

     x          =

y ⇒ z -    = (x + iy) - (x – iy)

                 = 2iy

     y          =

Maka               f(z) = 2x² + iy             

                              = 2 + i

                              =

                              = ½ (z² +  + z - ) + z

Link download: http://www.4shared.com/file/uYTr3bKG/Catatan_Analisis_Kompleks.html :)